モード7

透視投影

まず、ビュー空間⁶の点$p_v = [x_v, y_v, z_v, w_v]$を幅$b_w$・高さ$b_h$・中心$[0, 0, z_n]$のスクリーンへ投影することを考えます。このとき、投影された点$p_p$は

となります。ここで、$M_p$はそのプロジェクション行列を表します。また、$f_z(z_v)$は奥行きを正規化する関数を表しており、$[z_n, z_f]$の範囲が$[0,1]$の範囲に投影される場合には、$f_z(z_v, w_v) = \frac{z_f}{z_f - z_n} z_v - \frac{z_f z_n}{z_f - z_n} w_v$となります。逆に、$[1, 0]$の範囲に投影される場合には、$f_z(z_v, w_v) = -\frac{z_n}{z_f - z_n} z_v + \frac{z_f z_n}{z_f - z_n} w_v$となります。

次に、点$p_p = [x_p, y_p, z_p, w_p]$を幅$b_w$・高さ$b_h$で左上を原点とする画面の座標系へ変換することを考えます。このとき、変換された点$p_d$は

となります。ここで、$M_d$はその変換行列を表します。同様に、点$p_v$についても考えると

となります。

そして、今度は逆に、点$p_d = [x_d, y_d, z_d, w_d]$から点$p_v$を求めると

となります。ここで、$f_w(z_d, w_d)$は$f_z(z_v, w_v)$の逆の操作を行う関数を表しており、$[0, 1]$の範囲を$[z_n, z_f]$の範囲に戻す場合には、$f_w(z_d, w_d) = \frac{z_f z_n w_d}{z_f w_d - (z_f - z_n) z_d}$となります。逆に、$[1, 0]$の範囲を$[z_n, z_f]$の範囲に戻す場合には、$f_w(z_d, w_d) = \frac{z_f z_n w_d}{z_n w_d + (z_f - z_n) z_d}$となります。

最後に、このベクトルを透視除算⁷して、共通項を括り出すと以下のようになります。

ここで、$S(f_w(z_d, w_d) z_n^{-1})$はスケーリング行列を表します。このスケーリング係数$f_w(z_d, w_d) z_n^{-1}$は後ほど取り扱います。

BGへのマッピング

続いて、画面上の点$p_d$からワールド空間⁸上の点$p_w = [x_w, y_w, z_w, w_w]$への変換を考えます。ビュー空間上の点$p_v$への変換はすでに求まっているので、それにカメラが取り得る変換（平行移動・ヨー回転・ピッチ回転）を適用すると

となります。ここで、$p$はワールド空間でのカメラの位置を、$T(p)$は平行移動行列を表します。また、$R_{yx}(\theta_y, \theta_x)$は「X軸で回転したのちY軸で回転する」ような回転行列を表し、以下のようになります。

今回考えている平面はXZ面上にあるので、点$p_w$が平面上にあるとして$y_w = 0$を解くと

となり、スケーリング係数$f_w(z_d, w_d) z_n^{-1}$が求まります。ここで、$R_{yx,2}(\theta_y, \theta_x)$は$R_{yx}(\theta_y, \theta_x)$の2行目のベクトルを、$y$はカメラ位置$p$の$Y$成分を表します。

以上により、すべての値が画面上の点$p_d$から計算できるようになりました。そして最後に、$p_w$のX軸とZ軸に関する変換を取り出してまとめれば、2次元の変換行列が得られます。

おまけ：水平線の高さ

以下のように式を変形すると

$f_w(z_d, w_d)$に対する$y_d$を求めることができます。このとき、$f_w(z_d, w_d) = z_f$とすると、$y_d$は水平線の高さを表します。

疑似コード

void mode7(float y, float screen_width, float screen_height, vec3 camera_pos, float camera_near, vec2 camera_angle) {
	const vec3 screen_pos{-screen_width / 2, -y + screen_height / 2, camera_near};

	const auto sin_x = sin(camera_angle.x);
	const auto cos_x = cos(camera_angle.x);
	const auto sin_y = sin(camera_angle.y);
	const auto cos_y = cos(camera_angle.y);

    // 回転行列（1行目と3行目のみ）
    const vec3 rot_x{cos_y, sin_x * sin_y, cos_x * sin_y};
    const vec3 rot_z{-sin_y, sin_x * cos_y, cos_x * cos_y};

    // スケーリング係数
    const auto zoom = -camera_pos.y / (screen_pos.y * cos_x - screen_pos.z * sin_x);

    // BG変形を計算する
    PA = zoom * rot_x.x;
    PB = zoom * rot_x.z;
    PC = zoom * rot_z.x;
    PD = zoom * rot_z.z;
    X = camera_pos.x + zoom * dot(screen_pos, rot_x);
    Y = camera_pos.z + zoom * dot(screen_pos, rot_z);
}

固定小数点数の精度

SFCでは固定小数点数で実数を扱いますが、場面場面で必要な精度が異なります。三角関数は$[-1, +1]$の範囲なので、整数部は1ビットあれば良いはずです。また、位置は$[-512, 512]$程度の範囲なので、整数部は9ビットか10ビットが必要になります。

また、精度が落ちないように計算順序を入れ替えたほうが良い場合もあるそうです。